pq-Formel: Aufgaben und Übungen mit Lösungen
Klasse 9Stand: 7. Oktober 2026
Mit der pq-Formel löst du jede quadratische Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0. Die Lösungen sind x₁,₂ = −p2 ± √((p2)² − q). Was unter der Wurzel steht, entscheidet, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt.
Erklärung
Die Normalform
Die pq-Formel funktioniert nur, wenn die Gleichung so aussieht: x² + px + q = 0. Vor x² steht also eine 1, und rechts steht 0. p ist die Zahl vor x, q die Zahl ohne x. Die Vorzeichen gehören dazu. Bei x² − 5x + 6 = 0 ist p = −5 und q = 6.
Erst auf Normalform bringen
Steht vor x² eine andere Zahl, teilst du die ganze Gleichung durch diese Zahl. Aus 3x² − 12x + 9 = 0 wird x² − 4x + 3 = 0. Jedes Glied wird geteilt, auch die Zahl ohne x. Steht auf der rechten Seite nicht 0, bringst du zuerst alles nach links. Aus x² + 2x = 15 wird x² + 2x − 15 = 0, also q = −15.
Die Formel anwenden
Die Formel lautet x₁,₂ = −p2 ± √((p2)² − q). Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Halbiere p und ändere das Vorzeichen. Das ist der Wert vor dem ±.
- Rechne den Term unter der Wurzel aus: Quadrat von p2 minus q.
- Ziehe die Wurzel.
- Rechne einmal plus und einmal minus.
Beispiel: x² + 2x − 15 = 0. Hier ist p = 2 und q = −15. Dann ist −p2 = −1. Unter der Wurzel steht 1² − (−15) = 1 + 15 = 16, die Wurzel ist 4. Also x₁ = −1 + 4 = 3 und x₂ = −1 − 4 = −5.
Zwei, eine oder keine Lösung
Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante D = (p2)² − q. Er verrät dir vor dem Rechnen, wie viele Lösungen es gibt:
- D > 0: zwei verschiedene Lösungen
- D = 0: genau eine Lösung, nämlich x = −p2
- D < 0: keine Lösung, weil es keine Wurzel aus einer negativen Zahl gibt
Beispiel: x² − 4x + 13 = 0. Hier ist D = 2² − 13 = −9. Die Gleichung hat keine Lösung. Wer das übersieht und mit √9 = 3 weiterrechnet, erhält zwei falsche Werte.
Die Probe
Setze jede Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Bei x = 3 und x² + 2x − 15 ergibt sich 9 + 6 − 15 = 0. Stimmt die Probe, ist die Lösung richtig. Das dauert nur wenige Sekunden und deckt fast jeden Vorzeichenfehler auf.
So übst du hier
Auf Stufe 1 ist die Normalform schon gegeben. Auf Stufe 2 bringst du die Gleichung erst in Normalform. Auf Stufe 3 erkennst du an der Diskriminante, wie viele Lösungen es gibt, und rechnest auch mit Lösungen wie 0,5. Die Reihenfolge von x₁ und x₂ ist egal.
Typische Fehler
- Das Vorzeichen von p übernehmen: Bei p = −6 beginnt die Formel mit +3, nicht mit −3. In der Formel steht −p2.
- Die Gleichung nicht auf Normalform bringen. Bei 2x² + 4x − 30 = 0 musst du erst durch 2 teilen, sonst stimmen p und q nicht.
- Eine negative Diskriminante übersehen und einfach mit dem Betrag weiterrechnen. Ist (p2)² − q negativ, gibt es keine Lösung.
- Unter der Wurzel + q statt − q rechnen. Bei negativem q wird aus − q ein Plus.