Binomische Formeln: Übungen mit Lösungen

Die drei binomischen Formeln

Eine binomische Formel ist eine Abkürzung für ein bestimmtes Produkt von Klammern. Statt jedes Glied mit jedem zu multiplizieren, schreibst du das Ergebnis direkt hin. Es gibt drei Formeln:

• 1. Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• 2. Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b²
• 3. Formel: (a + b)(a − b) = a² − b²

Dabei stehen a und b für beliebige Glieder, also auch für 3x, 5 oder 12y.

Warum gibt es ein Mittelglied?

(a + b)² bedeutet (a + b) · (a + b). Multiplizierst du jedes Glied mit jedem, bekommst du a² + ab + ba + b². Die beiden mittleren Produkte sind gleich, zusammen also 2ab. Genau dieses Mittelglied wird beim Ausmultiplizieren am häufigsten vergessen. (x + 3)² ist deshalb nicht x² + 9, sondern x² + 6x + 9.

Bei der 3. Formel ist es anders. In (a + b)(a − b) entstehen +ab und −ab. Die beiden heben sich auf, übrig bleibt nur a² − b².

So gehst du vor

• Schau auf die Rechenzeichen: Plus in der Klammer, Minus oder beides?
• Bestimme das erste Glied a und das zweite Glied b.
• Quadriere a. Die Zahl vor der Variablen wird mitquadriert: (2a)² = 4a².
• Berechne das Mittelglied 2 · a · b.
• Quadriere b. Bei der 1. und 2. Formel wird b² immer addiert.

Beispiel mit Koeffizient

(2a − 5)²: Das erste Glied ist 2a, das zweite 5. In der Klammer steht ein Minus, also nimmst du die 2. Formel. (2a)² = 4a², das Mittelglied ist 2 · 2a · 5 = 20a mit Minus davor, und 5² = 25. Ergebnis: 4a² − 20a + 25.

Beispiel mit zwei Variablen

(12x − 3y)²: Hier ist (12x)² = 14x², das Mittelglied ist 2 · 12x · 3y = 3xy, und (3y)² = 9y². Ergebnis: 14x² − 3xy + 9y².

Rechnen im Kopf

Die Formeln helfen auch bei Zahlen. 49² ist (50 − 1)², also 2500 − 100 + 1 = 2401. Und 51 · 49 ist (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499. So sparst du dir die schriftliche Multiplikation.

So übst du hier

Auf Stufe 1 ist das erste Glied immer nur eine Variable, zum Beispiel (x + 3)². Auf Stufe 2 stehen Zahlen vor der Variablen, etwa (3x + 4)(3x − 4). Stufe 3 mischt zwei Variablen, Brüche und Kopfrechnen. Neben dem Eintippen gibt es Lücken und Zuordnungen. Bei einem Fehler bekommst du eine Erklärung, was genau nicht stimmt. Gib das Ergebnis ohne Klammern ein. Hochzahlen kannst du als ² oder mit ^2 schreiben.