Binomische Formeln rückwärts: Übungen mit Lösungen

Was heißt rückwärts?

Beim Ausmultiplizieren machst du aus einer Klammer eine Summe. Rückwärts gehst du den anderen Weg: Du erkennst in einer Summe wie x² + 10x + 25 eine binomische Formel und schreibst sie als Klammer, hier (x + 5)². Das nennt man auch Faktorisieren. Eine Summe aus zwei Gliedern wie x + 5 heißt Binom. Ein Term wie x² + 10x + 25 ist also das Quadrat eines Binoms, man sagt auch vollständiges Quadrat. Das Faktorisieren brauchst du später beim Lösen von Gleichungen und beim Kürzen von Bruchtermen.

Schritt für Schritt

• Suche die beiden Quadrate. In 4x² − 12x + 9 sind das 4x² = (2x)² und 9 = 3².
• Ziehe aus beiden die Wurzel: a = 2x und b = 3.
• Prüfe das Mittelglied: 2 · 2x · 3 = 12x. Es passt zu den 12x im Term.
• Achte auf das Vorzeichen des Mittelglieds. Plus heißt 1. Formel, Minus heißt 2. Formel.
• Ergebnis: 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)².

Zur Kontrolle multiplizierst du deine Klammer wieder aus. Dann muss genau der Ausgangsterm herauskommen.

Die 3. Formel erkennen

Fehlt das Mittelglied und steht ein Minus zwischen zwei Quadraten, passt die 3. Formel. 9a² − 16b² ist (3a)² − (4b)², also (3a + 4b)(3a − 4b). Steht dagegen ein Plus dazwischen, etwa bei x² + 16, hilft dir keine binomische Formel weiter.

Wann geht es nicht?

Nicht jeder Term mit drei Gliedern ist ein vollständiges Quadrat. Bei x² + 8x + 25 sind x² und 25 zwar Quadrate, aber das Mittelglied müsste 2 · x · 5 = 10x sein. Weil dort 8x steht, geht es nicht. Auch x² + 6x − 9 ist kein vollständiges Quadrat, denn b² wird bei der 1. und 2. Formel immer addiert.

Fehlende Glieder ergänzen

Manchmal sollst du einen Term so ergänzen, dass ein vollständiges Quadrat entsteht. Bei x² +   + 16 sind die Wurzeln x und 4. Das Mittelglied ist also 2 · x · 4 = 8x. Auch −8x passt, dann entsteht (x − 4)². Bei x² − 14x +   fehlt das letzte Quadrat. Aus 14x = 2 · x · b folgt b = 7, also gehört 49 in die Lücke.

So übst du hier

Stufe 1 enthält Terme wie x² + 10x + 25, bei denen vor x² keine Zahl steht. Auf Stufe 2 kommen Koeffizienten wie bei 4x² und die 3. Formel dazu. Auf Stufe 3 ergänzt du fehlende Glieder und entscheidest, ob sich der Term überhaupt mit einer binomischen Formel schreiben lässt. Gib die Lösung als Klammer ein, zum Beispiel (x + 5)², (x + 5)^2 oder (x + 5)(x + 5). Die Reihenfolge in der Klammer ist egal, (5 + x)² zählt also auch. Bei einem Fehler bekommst du eine Erklärung, zum Beispiel ob die Wurzel oder das Vorzeichen nicht stimmt.