Teilweise Wurzelziehen: Übungen mit Lösungen
Klasse 9Stand: 7. Oktober 2026
Beim teilweisen Wurzelziehen zerlegst du die Zahl unter der Wurzel in eine Quadratzahl und einen Rest. Die Wurzel aus der Quadratzahl schreibst du vor die Wurzel, der Rest bleibt darunter. So wird aus √72 der Term 6√2.
Erklärung
Die Idee
Nicht jede Wurzel geht glatt auf. √72 ist keine ganze Zahl. Trotzdem kannst du den Term vereinfachen, weil 72 eine Quadratzahl als Faktor enthält: 72 = 36 · 2. Für Wurzeln gilt die Regel √(a · b) = √a · √b. Damit wird √72 = √36 · √2 = 6 · √2, kurz 6√2.
Schritt für Schritt
- Suche die größte Quadratzahl, die ein Teiler der Zahl unter der Wurzel ist. Hilfreich sind 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 und 144.
- Schreibe die Zahl als Produkt: Quadratzahl mal Rest.
- Ziehe die Wurzel aus der Quadratzahl und schreibe das Ergebnis vor die Wurzel.
- Der Rest bleibt unter der Wurzel.
Beispiel: √180. Die größte Quadratzahl in 180 ist 36, denn 180 = 36 · 5. Also gilt √180 = 6√5.
Warum die größte Quadratzahl?
Bei 72 könntest du auch 72 = 4 · 18 schreiben. Dann erhältst du 2√18. Das ist nicht falsch gerechnet, aber noch nicht fertig: Unter der Wurzel steht 18 = 9 · 2, und daraus lässt sich noch einmal eine 3 herausziehen. 2 · 3√2 ergibt wieder 6√2. Mit der größten Quadratzahl sparst du dir diesen zweiten Durchgang. Fertig bist du erst, wenn unter der Wurzel keine Quadratzahl mehr als Faktor steckt.
Probe durch Quadrieren
Ob dein Ergebnis stimmt, prüfst du schnell: Quadriere die Zahl vor der Wurzel und multipliziere mit dem Rest. Bei 6√2 ist das 6² · 2 = 36 · 2 = 72. Kommt die Zahl aus der Aufgabe heraus, ist die Umformung richtig.
Rückwärts: Faktor unter die Wurzel bringen
Manchmal brauchst du die Gegenrichtung, etwa um Wurzeln zu vergleichen. Dann quadrierst du den Faktor vor der Wurzel und multiplizierst ihn mit der Zahl darunter: 3√5 = √(9 · 5) = √45. Der Faktor kommt also quadriert unter die Wurzel, nicht einfach mal.
Mit Variablen
Bei Variablen gehst du genauso vor. Wir nehmen an, dass alle Variablen positiv sind. Gerade Exponenten sind Quadrate: a² = (a)², a⁴ = (a²)². Bei √(50a²) zerlegst du in 25a² · 2 und erhältst 5a√2. Bei einem ungeraden Exponenten bleibt ein Faktor unter der Wurzel: √(12x³) = √(4x² · 3x) = 2x√(3x).
Eingabe
Du kannst 6√2, 6*√2, 6 sqrt(2) oder 6wurzel2 tippen. Alle Schreibweisen werden erkannt.
Typische Fehler
- Nicht die größte Quadratzahl herausziehen: √72 = 2√18 ist noch nicht fertig, denn unter der Wurzel steht noch 18 = 9 · 2.
- Die Quadratzahl selbst vor die Wurzel schreiben: √72 = 36√2 ist falsch. Vor die Wurzel kommt √36 = 6.
- Beim Rückwärtsrechnen den Faktor nicht quadrieren: 3√5 ist √45, nicht √15.
- Einen gerundeten Wert wie 8,49 angeben. Gesucht ist die genaue Form mit Wurzel.