Potenzgesetze: Übungen mit Lösungen

Was ist eine Potenz?

Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt mit gleichen Faktoren. x⁴ bedeutet x · x · x · x. Die untere Zahl oder Variable heißt Basis, die hochgestellte Zahl heißt Exponent. Fast alle Potenzgesetze lassen sich herleiten, wenn du eine Potenz in ihre Faktoren zerlegst und dann zählst.

Gleiche Basis: multiplizieren und dividieren

Bei x³ · x⁴ stehen zuerst drei Faktoren x und dann noch vier. Zusammen sind das sieben, also x⁷. Die Regel lautet:

• Beim Multiplizieren mit gleicher Basis addierst du die Exponenten: a^m · aⁿ = a^m+n.
• Beim Dividieren mit gleicher Basis subtrahierst du die Exponenten: a^m : aⁿ = a^m−n.

Beispiel: y¹⁰ : y⁴ = y⁶, denn 10 − 4 = 6. Die Basis bleibt dabei immer gleich. Bei 2³ · 2⁵ ist das Ergebnis 2⁸ und nicht 4⁸.

Potenz einer Potenz

Steht eine Potenz in einer Klammer mit einem weiteren Exponenten, multiplizierst du die Exponenten: (a^m)ⁿ = a^m·n. Bei (x³)⁴ schreibst du x³ viermal hintereinander. Das sind 4 · 3 = 12 Faktoren, also x¹². Wer hier addiert und x⁷ schreibt, hat die Klammer übersehen.

Gleiche Exponenten

Haben zwei Potenzen verschiedene Basen, aber denselben Exponenten, darfst du die Basen zusammenfassen. Der Exponent bleibt stehen:

• aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ, zum Beispiel 2⁵ · 5⁵ = 10⁵
• aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ, zum Beispiel 12³ : 4³ = 3³

Achte auf die Klammer. (ab)⁴ ist etwas anderes als ab⁴, denn bei ab⁴ gehört der Exponent nur zu b.

Exponent null und negative Exponenten

Was passiert bei x⁵ : x⁵? Nach der Regel ergibt sich x⁰. Gleichzeitig ist jede Zahl geteilt durch sich selbst 1. Deshalb gilt a⁰ = 1 für jede Basis außer 0.

Bei x² : x⁵ kommt x⁻³ heraus. Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: x⁻³ = 1/x³. Das Ergebnis wird dadurch nicht negativ. 2⁻³ ist also 1/8 und nicht −8.

Typische Schritte bei längeren Termen

Bei Termen wie (x²)³ · x⁴ arbeitest du von innen nach außen. Zuerst die Klammer: (x²)³ = x⁶. Dann gleiche Basis: x⁶ · x⁴ = x¹⁰. Bei Zahlen vor den Potenzen, etwa 3x² · 4x⁵, rechnest du die Zahlen und die Potenzen getrennt: 3 · 4 = 12 und x² · x⁵ = x⁷, zusammen 12x⁷.

So übst du hier

Auf Stufe 1 übst du Potenzen mit gleicher Basis. Stufe 2 bringt Klammern und gleiche Exponenten. Auf Stufe 3 kommen negative Exponenten, der Exponent 0 und Zahlen vor den Potenzen dazu. Ergebnisse kannst du als x^7 oder x⁷ eintippen, negative Exponenten als x^-3 oder 1/x^3.