Quadratische Ergänzung: Übungen mit Lösungen
Klasse 9Stand: 7. Oktober 2026
Mit der quadratischen Ergänzung formst du f(x) = x² + bx + c in die Scheitelpunktform (x − d)² + e um. Dazu ergänzt du eine Zahl zu einem vollständigen Quadrat und ziehst sie gleich wieder ab. Danach kannst du den Scheitelpunkt S(d ∣ e) direkt ablesen.
Erklärung
Wozu die Umformung?
In der Normalform x² + 6x + 5 siehst du nicht, wo der tiefste Punkt der Parabel liegt. In der Scheitelpunktform (x + 3)² − 4 dagegen schon: Die Klammer wird bei x = −3 null, und dann bleibt −4 übrig. Der Scheitelpunkt ist S(−3 ∣ −4). Die quadratische Ergänzung ist der Weg von der einen Form zur anderen.
Die Idee hinter dem Ergänzen
Die binomische Formel sagt (x + h)² = x² + 2hx + h². Vergleichst du das mit x² + 6x, dann ist 2h = 6, also h = 3. Damit ein vollständiges Quadrat entsteht, fehlt noch h² = 9. Diese Zahl ergänzt du. Damit sich der Wert des Terms nicht ändert, ziehst du sie sofort wieder ab.
Schritt für Schritt
- Halbiere die Zahl vor x. Das ist h.
- Quadriere h. Das ist die Ergänzung.
- Addiere und subtrahiere die Ergänzung.
- Fasse die ersten drei Glieder mit der binomischen Formel zu einer Klammer zusammen.
- Verrechne die übrigen Zahlen.
Beispiel: f(x) = x² + 6x + 5
- Hälfte von 6 ist 3, und 3² = 9.
- x² + 6x + 9 − 9 + 5
- (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4
Ungerade Zahl vor x
Ist die Zahl vor x ungerade, entstehen halbe Zahlen. Bei x² − 5x + 2 ist die Hälfte von −5 gleich −2,5, und (−2,5)² = 6,25. Also wird daraus (x − 2,5)² + 2 − 6,25 = (x − 2,5)² − 4,25. Der Scheitelpunkt ist S(2,5 ∣ −4,25).
Mit Faktor vor x²
Steht vor x² eine Zahl a, klammerst du sie zuerst aus den beiden x-Gliedern aus. Bei 2x² + 12x + 5 erhältst du 2(x² + 6x) + 5. Jetzt ergänzt du in der Klammer 9. Weil die Klammer mit 2 multipliziert wird, hast du in Wahrheit 2 · 9 = 18 hinzugefügt. Diese 18 ziehst du ab: 2(x + 3)² + 5 − 18 = 2(x + 3)² − 13.
Vorzeichen in der Klammer
Das Vorzeichen in der Klammer ist dasselbe wie vor der Zahl mit x. Aus x² − 8x wird (x − 4)², aus x² + 8x wird (x + 4)². Beim Ablesen des Scheitelpunkts kehrt es sich um: (x − 4)² gehört zu x = 4, (x + 4)² zu x = −4.
So übst du hier
Auf Stufe 1 ist die Zahl vor x gerade. Auf Stufe 2 kommen ungerade Zahlen und damit Kommazahlen dazu. Auf Stufe 3 steht ein Faktor vor x². Du gibst die Scheitelpunktform als Term ein, füllst Lücken oder nennst eine Koordinate des Scheitelpunkts.
Typische Fehler
- Die Ergänzung addieren, aber nicht wieder abziehen. Dann ändert sich der Term: x² + 6x + 5 ist nicht (x + 3)² + 5.
- Das halbe b vergessen und die ganze Zahl in die Klammer schreiben. Aus x² + 6x wird (x + 3)², nicht (x + 6)².
- Mit Faktor a nur die Ergänzung abziehen statt a mal die Ergänzung. Bei 2(x² + 6x + 9 − 9) musst du außen 18 abziehen.
- Das Vorzeichen beim Scheitelpunkt falsch ablesen: (x + 3)² − 4 hat den Scheitelpunkt S(−3 ∣ −4).