Ausklammern: Übungen mit Lösungen
Klasse 8Stand: 7. Oktober 2026
Beim Ausklammern schreibst du eine Summe als Produkt. Du suchst den größten Faktor, der in jedem Glied steckt, und ziehst ihn vor die Klammer. Ausklammern ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens.
Erklärung
Die Idee
Beim Ausmultiplizieren rechnest du 3(2x + 5) = 6x + 15. Beim Ausklammern gehst du den Weg zurück: Aus 6x + 15 wird 3(2x + 5). Dafür brauchst du einen Faktor, der in jedem Glied enthalten ist. Jedes Glied wird durch diesen Faktor geteilt, und das Ergebnis kommt in die Klammer.
Ausklammern brauchst du später oft: beim Kürzen von Bruchtermen, beim Lösen von Gleichungen wie x² − 4x = 0 und bei den binomischen Formeln rückwärts.
Schritt für Schritt
- Zahlen: Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aller Koeffizienten.
- Variablen: Prüfe, welche Variable in jedem Glied vorkommt, und nimm sie mit der kleinsten Hochzahl.
- Teile jedes Glied durch diesen Faktor und schreibe die Ergebnisse in die Klammer.
- Kontrolle: Multipliziere wieder aus. Es muss genau der Term aus der Aufgabe herauskommen.
Beispiel: 15r² + 18r. Der ggT von 15 und 18 ist 3. Die Variable r steckt in beiden Gliedern, mindestens einmal. Der Faktor ist also 3r. Es gilt 15r² : 3r = 5r und 18r : 3r = 6. Ergebnis: 3r(5r + 6).
Vollständig ausklammern
Gesucht ist meist der größtmögliche Faktor. 12x + 18 = 2(6x + 9) ist zwar richtig gerechnet, aber in der Klammer steckt noch der Faktor 3. Vollständig ausgeklammert heißt es 6(2x + 3). Ein guter Test: In der Klammer dürfen die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, und keine Variable darf in allen Gliedern stehen.
Wenn ein Glied ganz verschwindet
Bei 4a² + 4a ist der Faktor 4a. Das zweite Glied geteilt durch 4a ergibt 1. Diese 1 muss in der Klammer stehen bleiben: 4a(a + 1). Ohne die 1 würde beim Ausmultiplizieren nur 4a² herauskommen.
Potenzen und Minuszeichen
Bei Potenzen nimmst du die kleinste Hochzahl. Aus 6x³ − 9x² wird 3x²(2x − 3), denn x² steckt in x³ und in x².
Du kannst auch einen negativen Faktor ausklammern. Dann drehen sich in der Klammer alle Vorzeichen um: −6x² + 9x = −3x(2x − 3). Prüfe bei jedem Glied einzeln: −3x · 2x = −6x² und −3x · (−3) = 9x. Hier passieren die meisten Fehler.
So übst du hier
Auf Stufe 1 klammerst du nur Zahlen aus, auf Stufe 2 auch Variablen. Stufe 3 enthält Potenzen und negative Faktoren. Du schreibst das Ergebnis als Term, füllst Lücken aus oder wählst die richtige Zeile. Eingaben wie 3x(2x+5), 3·x·(2x + 5) oder x^2 werden erkannt.
Typische Fehler
- Nicht vollständig ausklammern: Bei 2(6x + 9) ist in der Klammer noch der Faktor 3 übrig. Richtig ist 6(2x + 3).
- Vorzeichenfehler beim negativen Faktor: −3x(2x + 3) ergibt −6x² − 9x und nicht −6x² + 9x. In der Klammer muss 2x − 3 stehen.
- Die 1 vergessen: 5y² + 5y ist 5y(y + 1), nicht 5y · y.
- Ein Glied nicht teilen: Bei 6x + 15 = 3(2x + 15) wurde die 15 nicht durch 3 geteilt.
- Bei Potenzen die größte statt der kleinsten Hochzahl nehmen. In x³ und x² steckt nur x² gemeinsam.