Scheitelpunktform in Normalform: Aufgaben und Übungen mit Lösungen

Zwei Formen für dieselbe Parabel

Eine quadratische Funktion kannst du verschieden aufschreiben. Die Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e verrät sofort, wo der Scheitelpunkt liegt. Die Normalform f(x) = ax² + bx + c ist praktisch, um Funktionswerte auszurechnen oder um mit der pq-Formel Nullstellen zu bestimmen. Beide Formen beschreiben dieselbe Kurve.

Ausmultiplizieren in drei Schritten

• Löse das Quadrat mit der binomischen Formel auf: (x − d)² = x² − 2dx + d².
• Multipliziere jedes Glied mit dem Faktor a.
• Addiere e zur Zahl ohne x.

Beispiel: f(x) = (x − 2)² + 3. Die binomische Formel liefert x² − 4x + 4. Dazu kommt 3, also f(x) = x² − 4x + 7.

Mit Faktor: f(x) = 2(x + 1)² − 5. Zuerst (x + 1)² = x² + 2x + 1. Mal 2 ergibt 2x² + 4x + 2. Dann noch −5, also f(x) = 2x² + 4x − 3.

Das Mittelglied nicht vergessen

Der häufigste Fehler ist, (x − 2)² einfach als x² + 4 zu schreiben. Das Quadrat einer Summe oder Differenz hat immer drei Glieder. Das Mittelglied ist 2 mal das Produkt der beiden Glieder in der Klammer. Bei (x − 2)² ist das 2 · x · 2 = 4x, mit Minus davor. Wer unsicher ist, schreibt die Klammer zweimal hin und multipliziert jedes Glied mit jedem.

Den Scheitelpunkt ablesen

In a(x − d)² + e liegt der Scheitelpunkt bei S(d ∣ e). Achte auf das Vorzeichen in der Klammer. Die Klammer (x − 2) wird null für x = 2, die Klammer (x + 2) für x = −2. Der y-Wert e wird dagegen so übernommen, wie er dasteht. Bei f(x) = −(x + 4)² + 1 ist der Scheitelpunkt also S(−4 ∣ 1). Ist a negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt.

Die Gegenrichtung

Manchmal ist die Normalform gegeben und du sollst die passende Scheitelpunktform erkennen. Am schnellsten geht das, wenn du jede Möglichkeit im Kopf ausmultiplizierst und mit der Normalform vergleichst. Prüfe zuerst das Glied mit x, dann die Zahl ohne x. Eine ausführliche Anleitung für diesen Weg findest du bei der quadratischen Ergänzung.

So übst du hier

Auf Stufe 1 ist a = 1. Auf Stufe 2 kommt ein ganzzahliger Faktor a dazu, auf Stufe 3 auch Faktoren wie 0,5. Du multiplizierst aus, ordnest Funktionen ihrem Scheitelpunkt zu und erkennst die richtige Scheitelpunktform zu einer Normalform. Die Normalform tippst du ohne Klammern ein, etwa x^2 − 4x + 7.