Lineare Gleichungssysteme: Übungen mit Lösungen
Klasse 8 bis 9Stand: 7. Oktober 2026
Ein lineares Gleichungssystem besteht hier aus zwei Gleichungen mit den Variablen x und y. Gesucht ist das Zahlenpaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Dafür gibt es drei Verfahren, die alle auf dasselbe Ziel hinauslaufen: eine Gleichung mit nur einer Variablen.
Erklärung
Worum es geht
Jede Gleichung wie 2x + y = 7 hat unendlich viele Lösungen, zum Beispiel x = 1, y = 5 oder x = 3, y = 1. Kommt eine zweite Gleichung dazu, etwa x − y = 2, bleibt meist nur noch ein Paar übrig, das zu beiden passt. Hier ist das x = 3 und y = 1. Grafisch ist jede Gleichung eine Gerade, und die Lösung ist ihr Schnittpunkt.
Einsetzungsverfahren
Gut geeignet, wenn eine Gleichung schon nach x oder y aufgelöst ist.
- I: y = 2x − 1
- II: 3x + y = 9
Ersetze in II das y durch (2x − 1): 3x + (2x − 1) = 9. Zusammengefasst ergibt das 5x − 1 = 9, also x = 2. Dann setzt du x in I ein: y = 2 · 2 − 1 = 3. Wichtig: Steht vor dem y eine Zahl, musst du die ganze Klammer mit ihr malnehmen.
Gleichsetzungsverfahren
Sind beide Gleichungen nach y aufgelöst, setzt du die rechten Seiten gleich. Aus y = 4x − 1 und y = 2x + 3 wird 4x − 1 = 2x + 3. Das ergibt 2x = 4, also x = 2 und y = 7.
Additionsverfahren
Stehen beide Gleichungen in der Form ax + by = c, nimmst du eine oder beide Gleichungen so mal, dass vor y Gegenzahlen stehen. Beim Addieren fällt y dann weg.
- I: 5x + 6y = 24
- II: 5x − 2y = 32 | · 3
Aus II wird 15x − 6y = 96. Addiert mit I ergibt sich 20x = 120, also x = 6. Eingesetzt in I: 30 + 6y = 24, also y = −1.
Die Probe
Setze dein Ergebnis in beide Gleichungen ein. Passt es nur in eine, steckt ein Fehler im Rechenweg. Oft liegt er beim Einsetzen am Ende.
Sachaufgaben
Bei Textaufgaben gibst du den Unbekannten zuerst Namen. Familie Kaya zahlt im Zoo für 2 Erwachsene und 3 Kinder 54 €, Familie Berg für 1 Erwachsenen und 4 Kinder 47 €. Mit x für den Preis für Erwachsene und y für Kinder entstehen 2x + 3y = 54 und x + 4y = 47. Die Lösung ist x = 15 und y = 8.
Sonderfälle
Nicht jedes System hat genau eine Lösung. Ist die linke Seite von II ein Vielfaches der linken Seite von I, sind die Geraden parallel.
- Passt das Vielfache auch rechts, beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade. Dann gibt es unendlich viele Lösungen.
- Passt es rechts nicht, schneiden sich die Geraden nie. Dann gibt es keine Lösung.
Typische Fehler
- Nur eine Gleichung prüfen: x = 3, y = 1 erfüllt 2x + y = 7, aber nicht 2x − y = 4, denn 2 · 3 − 1 = 5, nicht 4. Die Probe gehört in beide Gleichungen.
- Beim Einsetzen die Klammer vergessen: 3y mit y = 2x − 1 ergibt 3(2x − 1) = 6x − 3, nicht 6x − 1.
- Beim Additionsverfahren nur eine Seite malnehmen. Die ganze Gleichung wird multipliziert, auch die Zahl rechts.
- x und y in der Antwort vertauschen. Schreibe am Ende beide Werte mit Namen hin.
- Parallele Geraden für genau eine Lösung halten. Prüfe, ob die linken Seiten Vielfache voneinander sind.