Steigung berechnen: Übungen mit Lösungen

Was die Steigung angibt

Eine Gerade im Koordinatensystem kann steigen, fallen oder waagerecht verlaufen. Die Steigung m sagt, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 größer wird. Bei m = 2 geht es pro Kästchen nach rechts 2 Kästchen nach oben. Bei m = −12 geht es pro Kästchen nach rechts ein halbes Kästchen nach unten.

Das Steigungsdreieck

Am Graphen liest du die Steigung mit einem Steigungsdreieck ab. Du wählst zwei Punkte auf der Geraden, die genau auf Gitterpunkten liegen. Dann zählst du:

• Δx: wie weit du von links nach rechts gehst
• Δy: wie weit es dabei nach oben (positiv) oder nach unten (negativ) geht

Die Steigung ist m = Δy : Δx. Geht das Dreieck 3 nach rechts und 2 nach unten, ist m = −23.

Steigung aus zwei Punkten

Kennst du zwei Punkte, brauchst du keine Zeichnung. Für P(x₁|y₁) und Q(x₂|y₂) gilt:
m = y₂ − y₁x₂ − x₁

Beispiel: P(1|2) und Q(4|8). Δy = 8 − 2 = 6 und Δx = 4 − 1 = 3, also m = 63 = 2. Wichtig ist die Reihenfolge. Rechnest du oben Q minus P, musst du auch unten Q minus P rechnen. Sonst stimmt das Vorzeichen nicht. Bei negativen Koordinaten helfen Klammern: 3 − (−2) = 5.

Die Funktionsgleichung bestimmen

Eine Gerade hat die Gleichung y = mx + b. Dabei ist b der y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet. So findest du die Gleichung aus zwei Punkten:

• Berechne m wie oben.
• Setze einen der Punkte in y = mx + b ein.
• Löse nach b auf.

Beispiel: Die Gerade geht durch P(2|1) und Q(4|5). Dann ist m = 42 = 2. Setze P ein: 1 = 2 · 2 + b, also 1 = 4 + b und b = −3. Die Gleichung lautet y = 2x − 3. Zur Probe setzt du Q ein: 2 · 4 − 3 = 5. Es stimmt.

Eine Gerade einstellen

Umgekehrt kannst du aus der Gleichung die Gerade zeichnen. Starte bei (0|b) auf der y-Achse. Von dort gehst du so viele Kästchen nach rechts, wie der Nenner von m angibt, und so viele nach oben oder unten, wie der Zähler angibt. Bei y = 12x − 3 startest du bei (0|−3) und gehst 2 nach rechts und 1 nach oben.

So übst du hier

Auf Stufe 1 liest du die Steigung an einem Dreieck ab. Auf Stufe 2 berechnest du sie aus zwei Punkten. Stufe 3 verlangt die ganze Funktionsgleichung oder das Einstellen einer Geraden mit zwei verschiebbaren Punkten. Brüche gibst du als 2/3 ein, aufgehende Dezimalzahlen wie 0,5 gehen auch. Die Gleichung darfst du mit oder ohne y = schreiben, also y = 2x + 1 oder einfach 2x + 1.