Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm: Übungen mit Lösungen
Klasse 8 bis 10Stand: 7. Oktober 2026
Ein Baumdiagramm zeigt alle Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments als Pfade. Entlang eines Pfades multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten, mehrere passende Pfade addierst du. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe.
Erklärung
Aufbau eines Baumdiagramms
Jede Stufe des Experiments bekommt eine Reihe von Ästen. Bei einer Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln hat die erste Stufe zwei Äste: R mit 35 und B mit 25. An jedem Ende beginnt die zweite Stufe wieder mit den Ästen R und B. Ein Weg vom Start bis zum Ende heißt Pfad, zum Beispiel RB für "erst rot, dann blau".
Wichtig: Die Äste, die von einem Punkt ausgehen, ergeben zusammen immer 1. Damit kannst du eine fehlende Wahrscheinlichkeit sofort ergänzen. Steht an einem Ast 35, dann gehört an den anderen Ast 1 − 35 = 25.
Mit und ohne Zurücklegen
Mit Zurücklegen ist beim zweiten Zug wieder alles da. Die Äste der zweiten Stufe sehen genauso aus wie die der ersten. Das gilt auch für Glücksräder und Münzen, die du mehrmals drehst oder wirfst.
Ohne Zurücklegen fehlt beim zweiten Zug eine Kugel. Der Nenner wird um 1 kleiner. Außerdem fehlt eine Kugel der Farbe, die zuerst gezogen wurde. Im Beispiel mit 3 roten und 2 blauen Kugeln gilt nach R: Es sind noch 2 rote und 2 blaue da, also P(R) = 24 und P(B) = 24. Nach B sind noch 3 rote und 1 blaue da, also P(R) = 34 und P(B) = 14.
Die Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Für zwei rote Kugeln ohne Zurücklegen gilt: P(RR) = 35 · 24 = 620 = 310. Das Ergebnis darfst du gekürzt oder ungekürzt angeben.
Die Summenregel
Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, addierst du ihre Pfadwahrscheinlichkeiten. "Genau eine rote Kugel" besteht aus den Pfaden RB und BR:
- P(RB) = 35 · 24 = 620
- P(BR) = 25 · 34 = 620
- P(genau eine rote) = 620 + 620 = 1220 = 35
Das Gegenereignis
Bei "mindestens eine rote Kugel" gehören drei Pfade dazu: RR, RB und BR. Schneller ist das Gegenereignis "keine rote Kugel", also nur der Pfad BB. Dann rechnest du 1 − P(BB). Im Beispiel: P(BB) = 25 · 14 = 220, also P(mindestens eine rote) = 1 − 220 = 1820 = 910.
Kontrolle
Alle Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen ergeben 1. Wenn du alle Pfade ausrechnest, kannst du so deine Rechnung prüfen. Eine Wahrscheinlichkeit größer als 1 ist immer ein Fehler. Meist wurde dann addiert, wo multipliziert werden muss.
So übst du hier
Auf Stufe 1 ziehst du mit Zurücklegen, drehst Glücksräder und wirfst Münzen. Du ergänzt fehlende Äste und nutzt bei Münze und Glücksrad schon die Summenregel. Auf Stufe 2 ziehst du ohne Zurücklegen, mit Pfadregel und Summenregel. Auf Stufe 3 kommt das Gegenereignis dazu, mit und ohne Zurücklegen gemischt. Du gibst Brüche ein, gekürzt oder ungekürzt. Dezimalzahlen und Prozent werden auch erkannt, auch auf zwei Nachkommastellen gerundet (zum Beispiel 0,21 oder 21 %).
Typische Fehler
- Ohne Zurücklegen den Nenner beim zweiten Zug nicht verringern. Nach dem ersten Zug ist eine Kugel weniger in der Urne.
- Nur den Nenner verringern, aber nicht den Zähler. Wurde zuerst eine rote Kugel gezogen, ist auch eine rote weniger da.
- Entlang eines Pfades addieren statt multiplizieren. Die Pfadregel verlangt das Produkt.
- Bei "genau eine" nur einen Pfad rechnen. Erst rot, dann blau und erst blau, dann rot sind zwei verschiedene Pfade.
- Bei "mindestens eine" das Gegenereignis ausrechnen und vergessen, es von 1 abzuziehen.